Funciones Racionales

Una función racional es una función de la forma

f(x) = p(x)
         q(x)

Donde p(x) y q(x) son polinomios y q (x) ≠ 0

A diferencia de una función polinomial, cuyo dominio es siempre el conjunto de todos los numeros reales, una funcion racional puede tener un dominio restringido, ya q se debe excluir cualquier valpr que anule al denominador.

Un caso particular que merece especial atencion es el de las funciones de las formas

f(x) = 1  , para enteros positivos n ≥ 1
        xⁿ

                                                                y = 1  , para n impar
                                                                     xⁿ

                                                                 y = 1  , para n par
                                                                      xⁿ


Ambas graficas tienen como asintota vertical a x=0 y como asintota horizontal a y=0

En general puede afirmarse q para x ∈ R - {0}, el comportamiento de las funciones y= 1/xⁿ    y   y = 1/xº
                                                                                                                                 
con n y o enteros positivos, o   1 y n  ≥ 1, ofrece las siguientes caracteristicas:


a) En el caso de q n y o sean pares, y n <  o

                                       |x| ≥ 1, xº ≤ xⁿ
                                     
                                       |x|  < 1, xº > xⁿ


b)  En el caso de q n y o sean impares, y n <  o


                                      |x| ≥ 1,| xº| ≤ |xⁿ|
                                     
                                       |x|< 1,| xº| > |xⁿ|


En el estudio de las funciones racionales tiene particular importancia el analizis de las asistontas verticales y horizontales.

Definicion de asintota vertical:

La recta x=a es asintota vertical de la grafica de una funcion f si f(x) → ∞  bien  f(x) → -∞  cuando x→a , por la izquierda o por la derecha.

Definicion de asintota horizontal:

la recta y=c es asintota horizontal de la grafica de una funcion f si   f(x) → c cuando x → ∞ o cuando x → -∞  

Nota:
Para determinar las asintotas verticales, se acostumbra obtener los ceros del denominador, si embargo si a es un cero del denominador de una funcion racional f, entonces la grafica de f puede tener una asintota vertical x=a, pues hay funciones racionales para las cuales este no es el caso.

Con mayor precision puede afirmarse que si tanto el numerador como el denominador no tienen factor comun, entonces f debe tener una asintota vertical x=a, en otras palabras, para que x=a sea asintota vertical debe ser un cero del denominador pero no debe anular el numerador.

La grafica de una funcion racional puede no tener asintotas horizontales, y en caso de tenenerla la grafica puede cruzar dicha asintota.